n.1329 La Scienza numero 14 NUMERI, FIGURE, LOGICA E INTELLIGENZA ARTIFICIALE 2005 • Introduzione Breve storia della matematica e della geometria La matematica dalle origini all’età moderna di Joachim Otto Fleckenstein e Tullio Viola I fondamenti della matematica di Ferdinando Arzarello La geometria di Alberto Conte • Parte prima: LA MATEMATICA 1. La matematica di inizio Novecento di Piergiorgio Odifreddi David Hubert Alfred Bernhard Nobel Premesse Numeri irrazionali Euclide Anni Venti: gli insiemi La teoria degli insiemi Friedrich Gottlob Frege Gottfried Wilhelm Leibniz Ernst Zermelo Kurt Gödel 2. Il numero di Umberto Bottazzini Cosa sono i numeri? Il logicismo Sistemi assiomatici Congetture 3. Dagli anni Quaranta a fine secolo di Piergiorgio Odifreddi Anni Quaranta: le strutture Nicolas Bourbaki La topologia Anni Sessanta: le categorie Saunders MacLane e Samuel Eilenberg Anni Ottanta: il Lambda Calcolo Il Lambda Calcolo L’opera di Frege La logica intuizionistica di Brouwer 4. La matematica pura Sviluppi recenti di Piergiorgio Odifreddi Terne pitagoriche Pierre de Fermat Archimede Analisi: la misura di Lebesgue di Piergiorgio Odifreddi La geometria algebrica Augustin Louis Cauchy Henry Léon Lebesgue Algebra: la classificazione dei campi di Steinitz di Piergiorgio Odifreddi John Wallis I numeri complessi Topologia: il teorema dei punto fisso di Brouwer di Piergiorgio Odifreddi Luitzen Brouwer Teoria dei numeri: i numeri trascendenti di Gelfond di Piergiorgio Odifreddi Aleksandr Osipovic Gelfond Charles Hermite Logica: il teorema di incompletezza di Gödel di Piergiorgio Odifreddi Isaac Newton II teorema di Gödel Calcolo variazionale: le superfici minimali di Douglas di Piergiorgio Odifreddi Galileo Galilei Erone Equazioni differenziali nel campo reale L’architettura delle matematiche di Umberto Bottazzini La matematica bourbakista di Umberto Bottazzini Laurent Schwartz Analisi: le distribuzioni di Schwartz di Piergiorgio Odifreddi Giuseppe Peano Paul Dirac La meccanica quantistica Topologia differenziale: le strutture esotiche di Milnor di Piergiorgio Odifreddi Teoria dei modelli: i numeri iperreali di Robinson di Piergiorgio Odifreddi Le derivate Gli integrali Teoria degli insiemi: il teorema di indipendenza di Cohen di Piergiorgio Odifreddi Georg Cantor Paul Cohen Teoria delle singolarità: la classificazione delle catastrofi di Thom di Piergiorgio Odifreddi Algebra: la classificazione dei gruppi finiti di Gorenstein di Piergiorgio Odifreddi Niccolò Tartaglia Paolo Ruffini La teoria dei gruppi Topologia: la classificazione delle superfici tridimensionali di Thurston di Piergiorgio Odifreddi Teoria dei numeri: la dimostrazione di Wiles dell’ultimo teorema di Fermat di Piergiorgio Odifreddi Adrien-Marie Legendre Geometria discreta: la soluzione di Hales dei problema di Keplero di Piergiorgio Odi.freddi Giovanni Keplero 5. La matematica applicata di Piergiorgio Odifreddi Gli angoli retti degli egizi Niels Henrik David Bohr Cristallografia: i gruppi di simmetria di Bieberback La struttura dei cristalli Calcolo tensoriale: la relatività generale di Einstein I tensori Teoria dei giochi: il teorema minimax di von Neumann John von Neumann Il Nobel per i «giochi del disarmo» Analisi funzionale: l’assiomatizzazione della meccanica quantistica di von Neumann Jean Baptiste Joseph Fourier Werner Karl Heisenberg Erwin Schrödinger Teoria delle probabilità: l’assiomatizzazione di Kolmogorov Andrei Nikolaevi Kolmogorov Blaise Pascal Christiaan Huygens Carl Friedrich Gauss Teoria dell’ottimizzazione: il metodo del simplesso di Dantzig Simplessi e complessi simpliciali Teoria dell’equilibrio generale: il teorema di esistenza di Arrow e Debreu Gérard Debreu Teoria dei linguaggi formali: la classificazione di Chomsky Teoria dei sistemi dinamici: il teorema KAM Giuseppe Luigi Lagrange Pierre Simon de Laplace Teoria dei nodi: gli invarianti di Jones Hermann von Helmholtz Carl Gustav Jacob Jacobi 6. La teoria dei gruppi di Luisa Bonolis • Parte seconda: LA GEOMETRIA 1. La nascita delle nuove geometrie di Umberto Bottazzini I «nei» di Euclide La leva di Archimede e la natura delle proposizioni geometriche Una discussione sulla linea retta Dall’epistolario di Gauss La «scienza dello spazio assolutamente vera» Il «messaggero di Kazan»: Lobaevskij Serie numeriche Nepero Le «ipotesi» di Riemann Classificazione topologica di curve e superfici I «fatti» di Helmholtz La geometria solida Polemiche, modelli e fantasie geometriche La geodesia Il triangolo sferico La geometria iperbolica 2. Nuovi universi geometrici di Umberto Botiazzini L’eredità riemanniana La geometria differenziale Peter Gustav Lejeune Dirichlet Il calcolo differenziale assoluto L’algebra lineare e multilineare Il parallelismo di Levi Civita La relatività ristretta Geometrie post-relativistiche Politecnico di Zurigo: la ricerca in campo fisico e matematico Nuove strutture geometriche 3. II teorema di Pitagora di Piergiorgio Odifreddi Dimostrazioni del teorema di Pitagora La nozione di area Assiomi vecchi e nuovi 4. La figura di Umberto Bottazzini Talete Da dove viene la geometria? Gruppi Simmetrie Frattali I frattali in borsa 5. I numeri e il cervello di Umberto Bottazzini L’«intelligente Hans» e altri animali Le capacità matematiche di bambini e neonati Il cervello Metafore numeriche La simbologia dei numeri • Parte terza: MATEMATICA E COMPUTER 1. II rapporto tra matematica e informatica L’incontro tra le due discipline di Piergiorgio Odifreddi George Boole Alan Mat hison Turing La macchina di Turing I frattali Teoria degli algoritmi: la caratterizzazione di Turing di Piergiorgio Odifreddi Intelligenza Artificiale: l’analisi degli scacchidi Shannon di Piergiorgio Odifreddi Teoria del caos: l’attrattore strano di Lorenz di Piergiorgio Odifreddi Dimostrazioni assistite: il teorema dei quattro colori di Appel e Haken di Piergiorgio Odifreddi Frattali: l’insieme di Mandeibrot di Piergiorgio Odifreddi La geometria frattale Calcolo numerico e calcolatore di Umberto Bottazzini • Parte quarta: PROBLEMI INSOLUTI 1. Ogni nuova soluzione è un nuovo problema di Piergiorgio Odifreddi Aritmetica: il problema dei numeri perfetti Marin Marsenne Bernhard Riemann Analisi complessa: l’ipotesi di Riemann Leonhard Euler Christian Goldhach Srinivasa Aaiyangar Ramanujan Topologia algebrica: la congettura di Poincaré Jules-Henri Poincaré Teoria della complessità: il problema P = NP Conclusione • Parte quinta: LOGICA, PARADOSSI E INTELLIGENZA ARTIFICIALE 1. L’era di Gödel di Umberto Bottazzini Il teorema di Gödel La teoria dei numeri Gerhard Gentzen Prove di coerenza e di indipendenza L’intuizionismo La ricorsività Teoria della ricorsività Alonzo Church Semantica e modelli La semantica logica Alfred Tarski 2. L’algebra della logica di Umberto Bottazzini Logica, una scienza «chiusa e compiuta» Metafisica, induzione e «algebra logica» L’analisi matematica della logica Sviluppi dei calcolo booleano 3. La logica nell’era dei computer di Gabriele Lolli L’eredità leibniziana Gli esordi della dimostrazione automatica Il LISP Marvin Lee Minsky e l’intelligenza Artificiale Il linguaggio di programmazione LISP L’array Da Skolem al calcolo della risoluzione I dimostratori automatici La correttezza dei programmi La dimostrazione assistita dal calcolatore La programmazione logica e il PROLOG Il PROLOG La logica e la rappresentazione della conoscenza 4. Paradossi di Gabriele Lolli I paradossi nella storia del pensiero Maurits Cornelis Escher Parmenide Giovanni Cerolamo Saccheri Aristotele Cartesio (René Descartes) I paradossi logico-matematici Protagora Probabilità Girolamo Cardano I logaritmi Nelson Goodman 5. L’lntelligenza Artificiale di Roberto Cordeschi La cibernetica Verso il calcolatore intelligente «Pensiero meccanico» Le applicazioni dell’intelligenza Artificiale: la robotica La simulazione del cervello sul calcolatore: struttura o funzione? I transistor Strategie soddisfacenti Claude Elwood Shannon Le euristiche prima e dopo Dartmouth Deep Blue Simboli o neuroni? Approcci semantici Noam Avram Chomsky Generalità e conoscenza Percorsi della logica Problemi di buon senso Contro la logica La Visione Artificiale Vecchi e nuovi progetti Architetture a confronto: scienza cognitiva e neoconnessionismo L’Intelligenza Artificiale e gli enigmi della mente Passi diversi verso l’Intelligenza Artificiale L’omeostato La «nuova JA» Per concludere, e continuare • FRONTIERE 1. Le forme dello spazio Graham P. Collins Ciambelle di gomma L’ultimo universalista La geometrizzazione La matematica dell’universo 2. Come costruire un iper computer di Thomas Sterling Processori a superconduzione Aumentare l’efficienza Aumentare l’utilizzabilità Memorizzazione olografica Comunicazioni ottiche 3. Variazioni: un tema aureo Piergiorgio Odifreddi Definizioni Costruzioni Irrazionalità Approssimazioni • GLOSSARIO Glossario .-